합으로 정의된 수열

[출제의도] 수열의 합과 일반항과의 관계를 이해하고, 수열의 합을 구한다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{k + 1} = n ^{2} + n$을 전개하면 $\displaystyle \frac{a _{1}}{2} + \frac{a _{2}}{3} + \frac{a _{3}}{4} + \cdots + \frac{a _{n}}{n + 1} = n ^{2} + n$ … ㉠ ㉠에 의해 $2$이상의 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \frac{a _{1}}{2} + \frac{a _{2}}{3} + \frac{a _{3}}{4} + \cdots + \frac{a _{n - 1}}{n} = ( n - 1 ) ^{2} + ( n - 1 )$ … ㉡ ㉠$-$㉡에서 $\displaystyle \frac{a _{n}}{n + 1}$ $= n ^{2} + n - \left\{ ( n - 1 ) ^{2} + ( n - 1 ) \right\}$ $= 2 n$ ∴ $a _{n} = 2 n ( n + 1 )$ ($n = 2$, $3$, $4$, $\cdots$) 한편 ㉠에서 $\displaystyle \frac{a _{1}}{2} = 1 ^{2} + 1$, $a _{1} = 4$ ∴ $a _{n} = 2 n ( n + 1 )$ ($n = 1$, $2$, $3$, $\cdots$) $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{1}{a _{n}}$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{1}{2 n ( n + 1 )}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right) \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{11} \right)$ $\displaystyle = \frac{5}{11}$