대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

합으로 정의된 수열

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 ∑k=1n4k−3ak=2n2+7n\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{4 k - 3}{a _{k}} = 2 n ^{2} + 7 n 을 만족시킨다. a5×a7×a9=qp\displaystyle a _{5} \times a _{7} \times a _{9} = \frac{q}{p}일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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58

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해설

[출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 항의 값을 구할 수 있는가? n=1n = 1일 때 1a1=9\displaystyle \frac{1}{a _{1}} = 9 n≥2n \geq 2일 때 4n−3an=∑k=1n4k−3ak−∑k=1n−14k−3ak\displaystyle \frac{4 n - 3}{a _{n}} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{4 k - 3}{a _{k}} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{4 k - 3}{a _{k}} =2n2+7n−{2(n−1)2+7(n−1)}= 2 n ^{2} + 7 n - \left\{ 2 ( n - 1 ) ^{2} + 7 ( n - 1 ) \right\} =4n+5= 4 n + 5 이것은 n=1n = 1일 때도 성립하므로 4n−3an=4n+5\displaystyle \frac{4 n - 3}{a _{n}} = 4 n + 5(n≥1n \geq 1) 즉, an=4n−34n+5\displaystyle a _{n} = \frac{4 n - 3}{4 n + 5}이므로 a5×a7×a9a _{5} \times a _{7} \times a _{9}=1725×2533×3341\displaystyle = \frac{17}{25} \times \frac{25}{33} \times \frac{33}{41}=1741\displaystyle = \frac{17}{41} 따라서 ∴ p+q=41+17=58p + q = 41 + 17 = 58

태그

#수열의 합과 일반항#분수

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