대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합으로 일반항

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑k=1nak=n2−2n\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = n ^{2} - 2 n일 때, ∑k=610ak\displaystyle \sum\limits _{k = 6} ^{10} a _{k}의 값을 구하시오. [3점]

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65

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해설

[출제의도] ∑\displaystyle \sum\limits _{} ^{}의 성질을 이용하여 수열의 합을 구한다. ∑k=610ak\displaystyle \sum\limits _{k = 6} ^{10} a _{k}=∑k=110ak−∑k=15ak\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{5} a _{k} =(102−2×10)−(52−2×5)= \left( 10 ^{2} - 2 \times 10 \right) - \left( 5 ^{2} - 2 \times 5 \right)=80−15= 80 - 15=65= 65 [다른 풀이] 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 하면 ana _{n}=Sn−Sn−1= S _{n} - S _{n - 1} =(n2−2n)−{(n−1)2−2(n−1)}= \left( n ^{2} - 2 n \right) - \left\{ \left( n - 1 ) ^{2} - 2 ( n - 1 ) \right\} \right. =2n−3= 2 n - 3 (n≥2)\left( n {\geq} 2 \right) a1=S1=−1a _{1} = S _{1} = \mathit{-} 1이므로 an=2n−3a _{n} = 2 n - 3 (n≥1)\left( n {\geq} 1 \right) 따라서 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 −1- 1이고 공차가 22인 등차수열이다. a6=9a _{6} = 9, a10=17a _{10} = 17이므로 ∑k=610ak\displaystyle \sum\limits _{k = 6} ^{10} a _{k}=5(9+17)2\displaystyle = \frac{5 ( 9 + 17 )}{2}=65= 65

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#수열의 합과 일반항

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