대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합동 사각형 지수로그

문제

그림과 같이 지수함수 $y = a ^{x}$ 과 로그함수 $y = \log _{a} x$ 가 두 점 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ 에서 만날 때, 점 $\mathrm{P}$ 에서 $x$ 축, $y$ 축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하자. 점 $\mathrm{Q}$ 를 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 직선 $\mathrm{AP}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{D}$ , 점 $\mathrm{Q}$ 를 지나고 $y$ 축과 평행한 직선이 직선 $\mathrm{BP}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 할 때, 두 사각형 $\mathrm{OAPB}$ 와 $\mathrm{PCQD}$ 는 합동이다. $a$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) [4점]

① $\displaystyle \sqrt{2}$ ② $\displaystyle \sqrt{3}$ ③ $\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}$ ④ $\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}$ ⑤ $2$

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①

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해설

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 성질을 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한다. 두 사각형이 합동이고 두 점 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ 가 직선 $y = x$ 위의 점이므로 $\mathrm{P} ( \mathit{k} , k )$ , $\mathrm{Q} ( \mathit{2} k , 2 k )$ 이다. 따라서 $a ^{k} = k$ , $a ^{2 k} = 2 k$ 이므로 $2 k = a ^{2 k}$ $= ( a ^{k} ) ^{2}$ $= k ^{2}$ 에서 $k = 2$ 이다. $a ^{2} = 2$ ∴ $\displaystyle a = \sqrt{2}$

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