합 조건으로 일반항 구하기

[출제의도] 수열의 합의 성질 이해하기 $a _{1} + 2 a _{2} + \cdots + na _{n} = 2 n ^{2} + 3 n$ 에서 $b _{n} = na _{n}$이라 하고 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} b _{k} = S _{n}$이라 하면 $\begin{aligned} b _{n} & = S _{n} - S _{n - 1} \\ & \\ & = 2 n ^{2} + 3 n - \left\{ 2 ( n - 1 ) ^{2} + 3 ( n - 1 ) \right\} \\ & \\ & = 4 n + 1 ( n \geq 2 ) \end{aligned}$ 이다. $b _{1} = 5$이므로 $b _{n} = 4 n + 1$$( n \geq 1 )$이다. 따라서 $\displaystyle a _{n} = \frac{b _{n}}{n} = 4 + \frac{1}{n}$ $( n \geq 1 )$ 이다. $\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{2}{a _{n} - 4} & = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{2}{\left( 4 + \frac{1}{n} \right) - 4} \\ & \\ & = \sum\limits _{n = 1} ^{10} 2 n = 2 \sum\limits _{n = 1} ^{10} n = 2 \times 55 = 110 \end{aligned}$