합 조건으로 일반항 구하기

[출제의도] 수열의 합 이해하기 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( ka _{k} - 6 k ^{2} + 2 \right) = 3 n ^{2} + 5 n$에서 $\left( \mathrm{i} \right)$ $n = 1$일 때, $a _{1} - 6 + 2 = 8$ $\therefore a _{1} = 12$ $\left( \mathrm{ii} \right)$ $n \geq 2$일 때, $\displaystyle na _{n} - 6 n ^{2} + 2 = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( ka _{k} - 6 k ^{2} + 2 \right) - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( ka _{k} - 6 k ^{2} + 2 \right)$ $= 3 n ^{2} + 5 n - \left\{ 3 \left( n - 1 \right) ^{2} + 5 \left( n - 1 \right) \right\}$ $= 6 n + 2$ $na _{n} = 6 n + 2 + 6 n ^{2} - 2$ $na _{n} = 6 n ^{2} + 6 n$ $a _{n} = 6 n + 6$ 따라서 $a _{n} = 6 n + 6$$\left( n \geq 1 \right)$이다. 그러므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( 6 n + 6 \right)$$\displaystyle = 6 \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( n + 1 \right)$$\displaystyle = 6 \left( \frac{10 \times 11}{2} + 10 \right) = 390$