항상 성립하는 이차부등식

[출제의도] 판별식을 이용하여 절대부등식이 성립하도록 하는 정수 $k$의 개수를 구한다. 이차방정식 $x ^{2} - 2 kx + 2 k + 15 = 0$의 판별식을 $D$라 하자. 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $x ^{2} - 2 kx + 2 k + 15 \geq 0$이 성립하려면 $D \leq 0$이어야 한다. $\displaystyle \frac{D}{4}$$= \left( - k \right) ^{2} - 1 \times \left( 2 k + 15 \right)$$\leq 0$ $k ^{2} - 2 k - 15 \leq 0$ $\left( k - 5 \right) \left( k + 3 \right) \leq 0$ $- 3 \leq k \leq 5$ 따라서 정수 $k$는 $- 3$, $- 2$, $- 1$, $\cdots$, $5$이므로 그 개수는 $9$이다.