항등함수 조건 함수

[출제의도] 항등함수와 상수함수의 뜻을 이해하여 함수를 추론한다. 함수 $f : X \rightarrow X$가 일대일 대응이 아니라고 가정하면 합성함수 $g \circ f : X \rightarrow X$는 일대일 대응이 아니게 되므로 항등함수도 아니다. 이런 경우 조건 (나)를 만족시키지 않게 되므로 함수 $f$는 일대일 대응이어야 한다. 마찬가지 이유로 함수 $g$도 일대일 대응이다. 두 일대일 대응 $f$, $g$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{9} f ( n ) = 1 + 2 + \mathit{\cdots} \mathit{+} 9 = 45$, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{9} g ( n ) = 1 + 2 + \mathit{\cdots} \mathit{+} 9 = 45$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{9} \left\{ f ( n ) + g ( n ) \right\}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{9} f ( n ) + \sum\limits _{n = 1} ^{9} g ( n )$$= 45 + 45$$= 90$ 조건 (다)에서 $f ( x ) + g ( x )$의 값은 일정하므로 $f ( x ) + g ( x )$$= k$ ($k$는 상수)라 하자. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{9} \left\{ f ( n ) + g ( n ) \right\}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{9} k$$= 9 k$이므로 $9 k = 90$에서 $k = 10$ 모든 $x \in X$에 대하여 $f ( x ) + g ( x ) = 10$ …… ㉠ 조건 (가)에서 $f ( 1 ) = 8$이므로 조건 (나)에 의하여 $g ( 8 ) = 1$ $g ( 8 ) = 1$이므로 ㉠에 의하여 $f ( 8 ) = 9$ $f ( 8 ) = 9$이므로 조건 (나)에 의하여 $g ( 9 ) = 8$ $g ( 9 ) = 8$이므로 ㉠에 의하여 $f ( 9 ) = 2$ $f ( 9 ) = 2$이므로 조건 (나)에 의하여 $g ( 2 ) = 9$ $g ( 2 ) = 9$이므로 ㉠에 의하여 $f ( 2 ) = 1$ $f ( 2 ) = 1$이므로 조건 (나)에 의하여 $g ( 1 ) = 2$ $f ( 5 ) = a$라 하면 조건 (나)에 의하여 $g ( a ) = 5$ $g ( a ) = 5$이면 ㉠에 의하여 $f ( a ) = 5$ $f ( a ) = 5$이면 조건 (나)에 의하여 $g ( 5 ) = a$ 이때 $10 = f ( 5 ) + g ( 5 )$$= a + a$$= 2 a$이므로$a = 5$ 즉 $f ( 5 ) = 5$이고 ㉠에 의하여 $g ( 5 ) = 5$ 이상의 대응을 그림으로 표현하면 다음과 같다.

조건 (가)에 의하여 $f \left( 3 \right) \ne 6$이므로 (ⅰ) $f ( 3 ) = 3$이면 조건 (나)에 의하여 $g ( 3 ) = 3$ ㉠에 의하여 $g ( 3 ) = 7$이므로 이 경우는 불가능하다. (ⅱ) $f ( 3 ) = 7$이면 조건 (나)에 의하여 $g ( 7 ) = 3$ $g ( 7 ) = 3$이면 ㉠에 의하여 $f ( 7 ) = 7$ 함수 $f$가 일대일 대응이 아니게 되므로 이 경우는 불가능하다. (ⅲ) $f ( 3 ) = 4$이면 조건 (나)에 의하여 $g ( 4 ) = 3$ $g ( 4 ) = 3$이면 ㉠에 의하여 $f ( 4 ) = 7$ $f ( 4 ) = 7$이면 조건 (나)에 의하여 $g ( 7 ) = 4$ $g ( 7 ) = 4$이면 ㉠에 의하여 $f ( 7 ) = 6$ $f ( 7 ) = 6$이면 조건 (나)에 의하여 $g ( 6 ) = 7$ $g ( 6 ) = 7$이면 ㉠에 의하여 $f ( 6 ) = 3$ $f ( 6 ) = 3$이면 조건 (나)에 의하여 $g ( 3 ) = 6$ (ⅲ)의 대응을 그림으로 표현하면 다음과 같다.

따라서 $( f \circ f \circ f ) ( 7 )$$= f ( f ( 6 ) )$$= f ( 3 )$$= 4$ [참고] 함수 $f$와 $g$는 다음과 같다.