공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

항등함수 합성

문제

집합 X={2,3}X = \left\{ 2 , 3 \right\}을 정의역으로 하는 함수 f(x)=ax−3af ( x ) = ax - 3 a와 함수 f(x)f ( x )의 치역을 정의역으로 하고 집합 XX를 공역으로 하는 함수 g(x)=x2+2x+bg ( x ) = x ^{2} + 2 x + b가 있다. 함수 g∘f:X→Xg \circ f : X \rightarrow X가 항등함수일 때, a+ba + b의 값을 구하시오. (단, a,ba , b는 상수이다.) [4점]

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4

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해설

[출제의도] 항등함수를 활용하여 문제 해결하기 함수 g∘fg \circ f가 항등함수이므로 (g∘f)(2)=2\left( g \circ f \right) \left( 2 \right) = 2에서 g(f(2))=g(−a)=2g \left( f \left( 2 \right) \right) = g \left( - a \right) = 2, a2−2a+b=2a ^{2} - 2 a + b = 2 ⋯⋯\cdots \cdots ㉠ (g∘f)(3)=3\left( g \circ f \right) \left( 3 \right) = 3에서 g(f(3))=g(0)=0g \left( f \left( 3 \right) \right) = g \left( 0 \right) = 0, b=3b = 3 ⋯⋯\cdots \cdots ㉡ ㉠, ㉡에서 a2−2a+1=(a−1)2=0a ^{2} - 2 a + 1 = \left( a - 1 \right) ^{2} = 0, a=1a = 1이므로 a+b=4a + b = 4

태그

#합성함수#항등함수

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