함수와 역함수 삼각형 넓이 급수

[출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 수열 문제 해결하기

$y = f ( x )$ $y = g ( x )$

점 $\mathrm{P}$는 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = - x + n + 2$와의 교점이다. $x ^{2} + nx = - x + n + 2$ $x ^{2} + ( n + 1 ) x - ( n + 2 ) = 0$ $( x - 1 ) ( x + n + 2 ) = 0$ $x = 1 ( \because x \geq 0 )$ 따라서 $\mathrm{P} ( \mathit{1} , n + 1 )$이다. 점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{P}$와 직선 $y = x$에 대한 대칭인 점이므로 $\mathrm{Q} ( \mathit{n} + 1 , 1 )$ 이다. 그러므로 $\displaystyle \begin{aligned} {\overline{\mathrm{PQ}}} & = \sqrt{\left\{ ( n + 1 ) - 1 \right\} ^{2} + \left\{ 1 - ( n + 1 ) \right\} ^{2}} = \sqrt{2 n ^{2}} = \sqrt{2} n \end{aligned}$ 이고 점 $\mathrm{O}$에서 직선 $y = - x + n + 2$까지의 거리($d$)는 $\displaystyle d = \frac{\left| n + 2 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}}} = \frac{n + 2}{\sqrt{2}}$ 이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{POQ}$의 넓이 $S _{n}$은 $\displaystyle S _{n} = \frac{1}{2} \times \frac{n + 2}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} n = \frac{n ( n + 2 )}{2}$ 이다. 그러므로 $\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{50}{S _{n}} & = 50 \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{2}{n ( n + 2 )} \\ & = 50 \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right) \\ & = 50 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots \right. \\ & \left. \cdots + \left( \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} \right) + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right) \right\} \\ & = 50 \times \frac{3}{2} \\ & = 75 \end{aligned}$ [다른 풀이]

$y = f ( x )$ $y = g ( x )$

삼각형 $\mathrm{POQ}$의 넓이를 다음과 같이 구할 수도 있다. (삼각형 $\mathrm{POQ}$의 넓이) $=$(삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이)$-$$2$(삼각형 $\mathrm{OAQ}$의 넓이) $\displaystyle = \frac{1}{2} ( n + 2 ) ^{2} - 2 \times \left\{ \frac{1}{2} \times ( n + 2 ) \times 1 \right\}$ $\displaystyle = \frac{n ( n + 2 )}{2}$