함숫값과 우극한 합

(ⅰ) $\alpha = 2$일 때, $f \left( \alpha ) = f \left( 2 \right) = 5 \right.$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \alpha +} f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} \left( ax + b \right) = 2 a + b$ 이므로 $5 + \left( 2 a + b \right) = 4$에서 $2 a + b = \mathit{-} 1$ $\cdots \cdots$ ㉠ (ⅱ) $\alpha \neq 2$일 때, $\displaystyle f \left( \alpha \right) = \lim\limits _{x \rightarrow \alpha +} f \left( x \right)$이므로 $f \left( \alpha \right) = 2$ $\alpha < 2$일 때, $f \left( \alpha \right) = \alpha ^{2} + 1 = 2$ $\therefore$$\alpha = \mathit{-} 1$ 또는 $\alpha = 1$ $\alpha > 2$일 때, $f \left( \alpha \right) = a \alpha + b = 2$ $\cdots \cdots$ ㉡ 이상에서 $\displaystyle f \left( \alpha \right) + \lim\limits _{x \rightarrow \alpha +} {} f \left( x \right) = 4$를 만족시키는 실수 $\alpha$의 개수가 $4$이고, 이 네 수의 합이 $8$이어야 하므로 $\alpha > 2$일 때의 $\alpha$의 값은 $6$이어야 한다. $\alpha = 6$을 ㉡에 대입하면 $6 a + b = 2$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉠, ㉢을 연립하면 $\displaystyle a = \frac{3}{4}$, $\displaystyle b = \mathit{-} \frac{5}{2}$ $\therefore$$\displaystyle a + b = \mathit{-} \frac{7}{4}$