공통수학2함수AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

함숫값 조건을 만족시키는 순서쌍의 개수

문제

집합 $X = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 \right\}$ 에서 집합 $Y = \left\{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 \right\}$ 로의 함수 $f$ 를 $f ( x ) =$ ( $x ^{2}$ 을 $8$ 로 나눈 나머지) 로 정의하자. $f ( a ) = 1$ , $f ( b ) = 4$ 를 만족시키는 $X$ 의 원소 $a$ , $b$ 의 순서쌍 $( a , b )$ 의 개수를 구하시오. [3점]

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해설

$x = 1 , 2 , \cdots , 8$ 에 대하여 $x ^{2}$ 을 $8$ 로 나눈 나머지를 구하면 $1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64$ 의 나머지는 차례로 $1 , 4 , 1 , 0 , 1 , 4 , 1 , 0$ 즉 $f ( 1 ) = f ( 3 ) = f ( 5 ) = f ( 7 ) = 1$ , $f ( 2 ) = f ( 6 ) = 4$ , $f ( 4 ) = f ( 8 ) = 0$ $f ( a ) = 1$ 인 $a$ 는 $1 , 3 , 5 , 7$ 의 $4$ 개 $f ( b ) = 4$ 인 $b$ 는 $2 , 6$ 의 $2$ 개 따라서 순서쌍 $( a , b )$ 의 개수는 $4 \times 2 = 8$

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