함숫값 등비수열

[출제의도] 등비중항을 활용하여 문제해결하기 ⅰ) $0 < k < 2$일 때, $f ( k ) < g ( k ) < h ( k )$이므로 크기 순서대로 나열하여 등비수열을 이루면 $g \left( k \right)$가 등비중항이다. $\displaystyle \left( 4 ^{k} \right) ^{2} = \left( \frac{1}{4} \right) ^{k} \times 2 ^{k + 2}$ $2 ^{4 k} = 2 ^{- 2 k} \times 2 ^{k + 2}$ $\displaystyle \therefore k = \frac{2}{5}$ ⅱ) $k = 2$일 때, $f ( 2 ) < g ( 2 ) = h ( 2 )$이므로 등비수열을 이루지 않는다. ⅲ) $k > 2$일 때, $f ( k ) < h ( k ) < g ( k )$이므로 크기 순서대로 나열하여 등비수열을 이루면 $h \left( k \right)$가 등비중항이다. $\displaystyle \left( 2 ^{k + 2} \right) ^{2} = \left( \frac{1}{4} \right) ^{k} \times 4 ^{k}$ $2 ^{2 k + 4} = 2 ^{- 2 k} \times 2 ^{2 k}$ $\therefore k = - 2$ $k = - 2$는 $k > 2$를 만족하지 않으므로 조건을 만족하는 등비수열은 존재하지 않는다. 따라서 ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 실수 $k$의 값은 $\displaystyle \frac{2}{5}$