공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

함수방정식 f(x-y)=f(x)-f(y)의 성질 판별

문제

임의의 두 실수 x,yx , y에 대하여 f(x−y)=f(x)−f(y)f ( x - y ) = f ( x ) - f ( y )가 성립한다. 다음 중 옳은 것은?

< 보 기 >
ㄱ. f(x)=−f(x)f ( x ) = - f ( x ) ㄴ. f(x+y)=f(x)+f(y)f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ㄷ. f(nx)=nf(x)f ( n x ) = n f ( x )

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

x=yx = y인 경우 f(x−x)=f(0)=f(x)−f(x)=0f ( x - x ) = f ( 0 ) = f ( x ) - f ( x ) = 0, ∴f(0)=0\therefore f ( 0 ) = 0 ㄱ. x=0x = 0인 경우, 주어진 식은 f(−y)=f(0)−f(y)=−f(y)f ( - y ) = f ( 0 ) - f ( y ) = - f ( y ), f(−y)=−f(y)f ( - y ) = - f ( y ) (거짓) ㄴ. f(x+y)=f(x−(−y))=f(x)−f(−y)=f(x)+f(y)f ( x + y ) = f ( x - ( - y ) ) = f ( x ) - f ( - y ) = f ( x ) + f ( y ) (참) ㄷ. f(x+x)=f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x)f ( x + x ) = f ( 2 x ) = f ( x ) + f ( x ) = 2 f ( x ) 따라서, f(nx)=nf(x)f ( n x ) = n f ( x ) (참)

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#함수방정식#코시의 함수방정식

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