함수 선택 조건부확률

[출제의도] 조건부확률을 구하는 문제를 해결한다. 선택한 함수 $f$가 $4$ 이하의 모든 자연수 $n$에 대하여 $f ( 2 n - 1 ) < f ( 2 n )$인 사건을 $$, $f ( 1 ) = f ( 5 )$인 사건을 $B$라 하면 구하는 확률은 ${\mathrm{P}} ( B | A )$이다. $X$에서 $X$로의 모든 함수의 개수는 $8 ^{8}$이다. $4$ 이하의 자연수 $n$에 대하여 $f ( 2 n - 1 ) < f ( 2 n )$인 $f ( 2 n - 1 )$과 $f ( 2 n )$을 정하는 경우의 수는 ${} _{8} {\mathrm{C}} _{2}$$\displaystyle = \frac{8 \times 7}{2 \times 1}$$= 28$ $4$ 이하의 모든 자연수 $n$에 대하여 $f ( 2 n - 1 ) < f ( 2 n )$인 경우의 수는 $28 ^{4}$이므로 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A ) = \frac{28 ^{4}}{8 ^{8}}$ (ⅰ) $f ( 1 ) = f ( 5 )$, $f ( 2 ) = f ( 6 )$ 인 경우 $f ( 1 )$$= f ( 5 ) < f ( 2 )$$= f ( 6 )$이므로 $f ( 1 )$, $f ( 2 )$, $f ( 5 )$, $f ( 6 )$을 정하는 경우의 수는 ${} _{8} {\mathrm{C}} _{2}$이고, $f ( 3 )$과 $f ( 4 )$, $f ( 7 )$과 $f ( 8 )$을 정하는 경우의 수는 각각 ${} _{8} {\mathrm{C}} _{2}$이므로 $f ( 2 ) = f ( 6 )$인 경우의 수는 $( {} _{8} {\mathrm{C}} _{2} ) ^{3} = 28 ^{3}$이다. (ⅱ) $f ( 1 ) = f ( 5 )$, $f ( 2 ) \neq f ( 6 )$ 인 경우 $f ( 1 ) = f ( 5 ) < f ( 2 ) < f ( 6 )$ 또는 $f ( 1 ) = f ( 5 ) < f ( 6 ) < f ( 2 )$이므로 $f ( 1 )$, $f ( 2 )$, $f ( 5 )$, $f ( 6 )$을 정하는 경우의 수는 $2 \times _{8} {\mathrm{C}} _{3}$$\displaystyle = 2 \times \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}$$= 112$이고, $f ( 3 )$과 $f ( 4 )$, $f ( 7 )$과 $f ( 8 )$을 정하는 경우의 수는 각각 ${} _{8} {\mathrm{C}} _{2} = 28$이므로 $f ( 2 ) \neq f ( 6 )$인 경우의 수는 $112 \times 28 ^{2}$이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의해 ${\mathrm{P}} ( A \cap B )$$\displaystyle = \frac{28 ^{3} + 112}{8 ^{8}} \times 28 ^{2}$$\displaystyle = \frac{140}{8 ^{8}} \times 28 ^{2}$ 따라서 구하는 확률은 ${\mathrm{P}} ( B | A )$$\displaystyle = \frac{{\mathrm{P}} ( A \cap B )}{{ P} ( A )}$$\displaystyle = \frac{\frac{140}{8 ^{8}}}{\frac{28 ^{4}}{8 ^{8}}} \times 28 ^{2}$$\displaystyle = \frac{140}{28 ^{2}}$$\displaystyle = \frac{5}{28}$