함수 선택 확률

[출제의도] 중복순열과 순열의 수를 이용하여 조건을 만족시키는 함수의 개수 및 확률을 구할 수 있는가? 집합 $\mathrm{A}$에서 $\mathrm{A}$로의 모든 함수의 개수는 ${}_{4} \Pi _{4} = 4 ^{4} = 256$ 조건을 만족시키는 함수의 개수는 조건(가)에 의하여 다음 네 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다. (ⅰ) $f ( 1 ) = f ( 2 ) = 3$인 경우 조건(나)를 만족시키기 위하여 정의역의 원소 $3$, $4$의 함숫값은 $1$, $2$, $4$ 중에서 서로 다른 $2$개를 택하여 순서대로 짝지으면 된다. 그러므로 이 경우의 수는 ${}_{3} \mathrm{P} _{2} = 6$ (ⅱ) $f ( 1 ) = f ( 2 ) = 4$인 경우 (ⅰ)과 같이 생각하면 이 경우의 수는 $6$ (ⅲ) $f ( 1 ) = 3$, $f ( 2 ) = 4$인 경우 조건(나)를 만족시키기 위하여 치역의 원소의 개수가 $3$이 되어야 하므로 다음 세 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다. ㉠ $f ( 3 )$의 값이 $3$ 또는 $4$인 경우 $f ( 4 )$의 값은 $1$ 또는 $2$가 되어야 하므로 이 경우의 수는 $2 \times 2 = 4$ ㉡ $f ( 4 )$의 값이 $3$ 또는 $4$인 경우 $f ( 3 )$의 값은 $1$ 또는 $2$가 되어야 하므로 이 경우의 수는 $2 \times 2 = 4$ ㉢ $f ( 3 )$, $f ( 4 )$의 값이 모두 $1$이거나 모두 $2$인 경우의 수는 $2$ 그러므로 이 경우의 수는 $4 + 4 + 2 = 10$ (ⅳ) $f ( 1 ) = 4$, $f ( 2 ) = 3$인 경우 (ⅲ)과 마찬가지로 생각하면 이 경우의 수는 $10$ (ⅰ)~(ⅳ)에 의하여 조건을 만족시키는 함수의 개수는 $6 + 6 + 10 + 10 = 32$ 따라서 ∴ $\displaystyle p = \frac{32}{256} = \frac{1}{8}$ 이므로 ∴ $\displaystyle 120 p = 120 \times \frac{1}{8} = 15$