함수 선택 확률

[출제의도] 순열과 조합을 이용하여 주어진 조건에 맞는 함수의 개수를 계산할 수 있는가? 집합 $\mathrm{A} = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$에서 집합 $B = \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$으로의 모든 함수 $f$의 개수는 $3 ^{4} = 81$ $f ( 1 ) \geq 2$인 함수의 개수는 $2 \times 3 ^{3} = 54$ 치역이 $B$인 함수 $f$의 개수는 정의역을 원소의 개수가 $2 , 1 , 1$인 세 개의 집합으로 나눈 후 집합 $B$에 일대일대응을 시키면 되므로 $\displaystyle {}_{4} {\mathrm{C}} _{2} \times _{2{\mathrm{C}}_{1}} \times _{1} {\mathrm{C}} _{1} \times \frac{1}{2 !} \times 3 ! = 36$ 한편 $f ( 1 ) = 2$이고 치역이 $B$인 함수 $f$의 개수는 다음 두 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다. (ⅰ) $a \ne 1$인 $a$에 대하여 $f ( a ) = 2$인 $a$가 존재하는 경우 $3 ! = 6$ (ⅱ) $a \ne 1$인 모든 $a$에 대하여 $f ( a ) \ne 2$인 경우 ${}_{3} {\mathrm{C}} _{2} \times 2 ! = 6$ 따라서 $f ( 1 ) = 2$이고 치역이 $B$인 함수 $f$의 개수는 $6 + 6 = 12$ 한편, $f ( 1 ) = 3$이고 치역이 $B$인 함수 $f$의 개수도 $12$이다. 따라서 구하는 확률은 ∴ $\displaystyle \frac{54 + 36 - ( 12 + 12 )}{81} = \frac{22}{27}$