행렬의 거듭제곱의 성분의 합

$\displaystyle A ^{n} = \begin{pmatrix} a _{n} & b _{n} \\ c _{n} & d _{n} \end{pmatrix}$ 라 하면 $A ^{n+1} = A \cdot A ^{n}$이므로 $\displaystyle \begin{pmatrix} a _{n+1} & b _{n+1} \\ c _{n+1} & d _{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a _{n} & b _{n} \\ c _{n} & d _{n} \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} 3 a _{n} + c _{n} & 3 b _{n} + d _{n} \\ a _{n} + 3 c _{n} & b _{n} + 3 d _{n} \end{pmatrix}$ 행렬의 상등에 의해 $a _{n+1} = 3 a _{n} + b _{n} \cdots$(1), $b _{n+1} = a _{n} + 3 b _{n} \cdots$(2) $c _{n+1} = 3 c _{n} + d _{n} \cdots$(3), $d _{n+1} = c _{n} + 3 d _{n} \cdots$(4) 식 (1)과 (2), 식 (3)과 (4)를 더하면 $a _{n} + b _{n} = 4 \cdot 4 ^{n-1} = 4 ^{n}$ $c _{n} + d _{n} = 4 ^{n}$ 따라서, $a _{2004} + b _{2004} + c _{2004} + d _{2004} = 4 ^{2004} + 4 ^{2004} = 2 ^{4009}$