행렬의 거듭제곱 성분의 극한

$A ^{n}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} {a _{n}} & {b _{n}} \\ {c _{n}} & {d _{n}} \end{pmatrix}$이라 하면 $A ^{n+1}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} {0} & {4} \\ {5} & {1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {a _{n}} & {b _{n}} \\ {c _{n}} & {d _{n}} \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} {4 c _{n}} & {4 d _{n}} \\ {5 a _{n} + c _{n}} & {5 b _{n} + d _{n}} \end{pmatrix}$이므로 $a _{n+1} = 4 c _{n}$, $c _{n+1} = 5 a _{n} + c _{n}$ 위의 두 식을 연립하면 $\displaystyle \frac{1}{4} a _{n+2} = 5 a _{n} + \frac{1}{4} a _{n+1}$ ∴ $a _{n+2} = a _{n+1} + 20 a _{n}$ ⋯⋯ ㉠ ㉠의 양변에 $- 5 a _{n+1}$을 더하여 정리하면 $a _{n+2} - 5 a _{n+1} = - 4 ( a _{n+1} - 5 a _{n} )$ $a _{1} = 0$, $a _{2} = 4 c _{1}$$= 20$이므로 따라서 수열 $\left\{ a _{n+1} - 5 a _{n} \right\}$은 첫째항이 $50$이고 공비가 $- 4$인 등비수열이다. ∴ $a _{n+1} - 5 a _{n} = 20 ( - 4 ) ^{n-1}$ ⋯⋯ ㉡ ㉡의 양변을 $5 ^{n+1}$로 나누면 $\displaystyle \frac{a _{n+1}}{5 ^{n+1}} - \frac{a _{n}}{5 ^{n}} = \frac{4}{5} \left( - \frac{4}{5} \right) ^{n-1}$ $a _{n} = x _{n}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{x _{n}}{5 ^{n}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{5 ^{n}}$$\displaystyle = \frac{a _{1}}{5} + \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left( \frac{a _{n+1}}{5 ^{n+1}} - \frac{a _{n}}{5 ^{n}} \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{4}{5} \left( - \frac{4}{5} \right) ^{n-1}$$\displaystyle = \frac{\frac{4}{5}}{1 + \frac{4}{5}}$$\displaystyle = \frac{4}{9}$ [다른 풀이] ㉠의 양변에 $4 a _{n+1}$을 더하여 정리하면 $a _{n+2} + 4 a _{n+1} = 5 ( a _{n+1} + 4 a _{n} )$ 따라서 수열 $\left\{ a _{n+1} + 4 a _{n} \right\}$은 첫째항이 $20$이고 공비가 $5$인 등비수열이다. ∴ $a _{n+1} + 4 a _{n} = 20 \cdot 5 ^{n-1}$ ⋯⋯ ㉢ ㉢$-$㉡에서 $9 a _{n} = 20 \left\{ 5 ^{n-1} - ( - 4 ) ^{n-1} \right\}$ ∴ $\displaystyle x _{n} = a _{n} = \frac{20}{9} \left\{ 5 ^{n-1} - ( - 4 ) ^{n-1} \right\}$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{x _{n}}{5 ^{n}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{4}{9} \left\{ 1 - \left( - \frac{4}{9} \right) ^{n-1} \right.$$\displaystyle = \frac{4}{9}$