공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬의 거듭제곱 합의 성분

문제

행렬 A=(1−301)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & - 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}에 대하여 A+A2+A3+⋯+AnA + A ^{2} + A ^{3} + \cdots + A ^{n}의 (1,2)( 1 , 2 )성분이 −1488- 1488일 때, 자연수 nn의 값은? [3점] ①3131②3232③3333④3434⑤3535

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①

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해설

AnA ^{n}을 거듭제곱이나 점화관계를 이용하여 구하면, An=(1−3n01)\displaystyle A ^{n} = {\begin{pmatrix} 1 & - 3 n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}이므로 A+A2+A3+⋯+AnA + A ^{2} + A ^{3} + \cdots + A ^{n}의 (1,2)( 1 , 2 )의 성분은 ∑k=1n−3k=−3n(n+1)2=−1488\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} - 3 k = - 3 \frac{n ( n + 1 )}{2} = - 1488이므로 n=31n = 31이다.

태그

#행렬의 거듭제곱#등차수열의 합

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