공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬의 거듭제곱 변형

문제

이차정사각행렬 AA와 행렬 B=(1011)\displaystyle B = {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 1 & & 1 \end{pmatrix}}에 대하여 (BA)2=(1112)\displaystyle ( BA ) ^{2} = {\begin{pmatrix} 1 & & 1 \\ 1 & & 2 \end{pmatrix}}일 때, 행렬 (AB)2( AB ) ^{2}은? [4점] ①(1112)\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 & & 1 \\ 1 & & 2 \end{pmatrix}}②(2112)\displaystyle {\begin{pmatrix} 2 & & 1 \\ 1 & & 2 \end{pmatrix}}③(2111)\displaystyle {\begin{pmatrix} 2 & & 1 \\ 1 & & 1 \end{pmatrix}}④(1221)\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 & & 2 \\ 2 & & 1 \end{pmatrix}}⑤(1121)\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 & & 1 \\ 2 & & 1 \end{pmatrix}}

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③

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해설

B−1(BA)2B=B−1BABABB ^{-1} ( BA ) ^{2} B = B ^{-1} BABAB=ABAB= ABAB=(AB)2= ( AB ) ^{2} ∴(AB)2=B−1(1112)B\displaystyle \therefore ( AB ) ^{2} = B ^{- 1} {\begin{pmatrix} 1 & & 1 \\ 1 & & 2 \end{pmatrix}} B =11×(10−11)(1112)(1011)\displaystyle = \frac{1}{1} \times {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ - 1 & & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & & 1 \\ 1 & & 2 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 1 & & 1 \end{pmatrix}} =(1101)(1011)=(2111)\displaystyle = {\begin{pmatrix} 1 & & 1 \\ 0 & & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 1 & & 1 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 2 & & 1 \\ 1 & & 1 \end{pmatrix}}

태그

#역행렬#행렬의 곱셈

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