행렬의 거듭제곱

[출제의도] 행렬의 곱셈을 알고 문제 해결하기 $A ^{n+1} = A ^{n} A$이므로 $\displaystyle \begin{pmatrix} a _{n+1} b _{n+1} \\ c _{n+1} d _{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a _{n} b _{n} \\ c _{n} d _{n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 1 \\ 0 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a _{n} a _{n} + 2 b _{n} \\ c _{n} c _{n} + 2 d _{n} \end{pmatrix}$ $a _{n} = a _{1} = 1$, $b _{n+1} = 2 b _{n} + 1$, $c _{n} = c _{1} = 0$, $d _{n+1} = 2 d _{n}$ 으로부터 $\displaystyle A ^{n} = \begin{pmatrix} 1 2 ^{n} - 1 \\ 0 2 ^{n} \end{pmatrix}$이다. 따라서, $a _{n} + b _{n} + c _{n} + d _{n} = 2 ^{n+1} \geq 2005$이므로 $n \geq 10$ ∴ 자연수 $n$의 최소값은 $10$