행렬로 정한 거리 보기

[출제의도] 행렬을 이용하여 거리에 관한 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. $\displaystyle L ( A ) = \sqrt{( x _{2} - x _{1} ) ^{2} + ( y _{2} - y _{1} ) ^{2}}$ $\displaystyle L ( B ) = \sqrt{( x _{2} - x _{1} ) ^{2} + ( y _{2} - y _{1} ) ^{2}}$ ∴ $L ( A ) = L ( B )$ (참) ㄴ. $\displaystyle L ( 2 A ) = \sqrt{( 2 x _{2} - 2 x _{1} ) ^{2} + ( 2 y _{2} - 2 y _{1} ) ^{2}}$ $\displaystyle = 2 \sqrt{( x _{2} - x _{1} ) ^{2} + ( y _{2} - y _{1} ) ^{2}}$ $= 2 L ( A )$ (참) ㄷ. $\displaystyle A + B = 2 \begin{pmatrix} x _{1} & x _{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이므로 $L ( A + B ) = 2 | x _{2} - x _{1} |$ ∴ $\displaystyle \frac{1}{2} L ( A + B ) = | x _{2} - x _{1} |$$\displaystyle \leq \sqrt{( x _{2} - x _{1} ) ^{2} + ( y _{2} - y _{1} ) ^{2}}$ $= L ( A ) = L ( B )$ ∴ $L ( A + B ) \leq L ( A ) + L ( B )$ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. [다른 풀이] ${\mathrm{A}} _{1} ( x _{1} , y _{1} )$, ${\mathrm{A}} _{2} ( x _{2} , y _{2} )$, ${\mathrm{B}} _{1} ( x _{1} , - y _{1} )$, ${\mathrm{B}} _{2} ( x _{2} , - y _{2} )$ 라 하자.

ㄱ. $\displaystyle L ( A ) = \overline{\mathrm{A} _{1} A _{2}}$, $\displaystyle L ( B ) = \overline{\mathrm{B} _{1} B _{2}}$ 그런데 두 선분 ${\mathrm{A} _{1} A _{2}}$, ${\mathrm{B} _{1} B _{2}}$는 $x$축에 대하여 서로 대칭이므로 그 길이가 같다. ∴ $L ( A ) = L ( B )$ (참) ㄴ. $L ( 2 A )$는 선분 ${\mathrm{A} _{1} A _{2}}$를 원점을 닮음의 중심으로 하여 $2$배만큼 확대한 선분의 길이와 같으므로 $L ( 2 A ) = 2 L ( A )$ (참) ㄷ. $\displaystyle A + B = 2 \begin{pmatrix} x _{1} & x _{2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$이므로 $L ( A + B ) = 2 | x _{2} - x _{1} |$ 이때, $\displaystyle \frac{1}{2} L ( A + B ) = | x _{2} - x _{1} |$은 선분 ${\mathrm{A} _{1} A _{2}}$의 양 끝점에서 $x$축에 각각 내린 두 수선의 발 $\mathrm{A} _{1}' , A _{2}'$을 양 끝점으로 하는 선분 ${\mathrm{A} _{1}' A _{2}'}$의 길이와 같다. $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1}' A _{2}'} \leq \overline{\mathrm{A} _{1} A _{2}}$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} L ( A + B ) \leq L ( A )$ ∴ $L ( A + B ) \leq L ( A ) + L ( B )$ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.