공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬과 연립방정식의 해

문제

이차의 정사각행렬 $A$ 에 대하여 두 연립방정식 $\displaystyle A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 와 $\displaystyle A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ 의 해가 모두 무수히 많을 때, $A$ 의 모든 성분의 합은? ① $- 2$ ② $- 1$ ③ $0$ ④ $1$ ⑤ $2$

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⑤

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해설

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{pmatrix}$ 라 하면 $\displaystyle A \begin{pmatrix} {x} \\ {y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {x} \\ {y} \end{pmatrix}$ $\leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{pmatrix} {a - 1} & {b} \\ {c} & {d - 1} \end{pmatrix}$ $\displaystyle \begin{pmatrix} {x} \\ {y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0} \\ {0} \end{pmatrix}$ $\displaystyle A \begin{pmatrix} {x} \\ {y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {y} \\ {x} \end{pmatrix}$ $\leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{pmatrix} {a} & {b - 1} \\ {c - 1} & {d} \end{pmatrix}$ $\displaystyle \begin{pmatrix} {x} \\ {y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0} \\ {0} \end{pmatrix}$ 주어진 두 연립방정식의 해가 무수히 많으므로 두 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix} {a - 1} & {b} \\ {c} & {d - 1} \end{pmatrix}$ , $\displaystyle \begin{pmatrix} {a} & {b - 1} \\ {c - 1} & {d} \end{pmatrix}$ 의 역행렬이 모두 존재하지 않는다. $( a - 1 ) ( d - 1 ) - bc = 0$ 즉, ……㉠ $ad - ( b - 1 ) ( c - 1 ) = 0$ ……㉡㉡ $-$ ㉠ : $a + b + c + d - 2 = 0$ $\therefore a + b + c + d = 2$

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