행렬과 열벡터

[출제의도] 행렬과 연립일차방정식 이해하기 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}$라 하자. 식 $\displaystyle A {\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}}$에 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}$를 대입하여 정리하면 $\displaystyle A {\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}}$에서 $\displaystyle {\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}}$이므로 $a = 2 , c = 3$이다. 같은 방법으로 식 $\displaystyle A {\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - 1 \\ 2 \end{pmatrix}}$에 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}$를 대입하여 정리하면 $\displaystyle A {\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - 1 \\ 2 \end{pmatrix}}$에서 $\displaystyle {\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - 1 \\ 2 \end{pmatrix}}$이므로 $b = - 1 , d = 2$이다. $a = 2 , b = - 1$, $c = 3 , d = 2$이므로 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}}$이다. $\displaystyle A {\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}}$에서 $\displaystyle A {\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 7 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}}$이므로 $p = 0 , q = 7$이다. 따라서 $p + q = 7$이다. [다른풀이 1] 두 등식 $\displaystyle A {\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}}$, $\displaystyle A {\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - 1 \\ 2 \end{pmatrix}}$를 행렬의 곱셈과 연관지어 보면 등식 $\displaystyle A {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}}$ 이 성립함을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}}$이다. $\displaystyle A {\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}}$에서 $\displaystyle A {\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 7 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}}$이므로 $p = 0 , q = 7$이다. 따라서 $p + q = 7$이다. [다른풀이 2] 행렬의 성질에 의해 $\displaystyle \begin{aligned} A {\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}} & = A {\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}} + A {\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}} & = A {\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}} + 2 A {\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}} \\ & = {\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}} + 2 {\begin{pmatrix} - 1 \\ 2 \end{pmatrix}} & = {\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}} + {\begin{pmatrix} - 2 \\ 4 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 7 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}} \end{aligned}$ 이므로 $\displaystyle A {\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 7 \end{pmatrix}}$이다. 그러므로 $p = 0 , q = 7$이다. 따라서 $p + q = 7$이다.