공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 연산회로

문제

어떤 종류의 연산회로는 행렬들로 나타낼 수 있다. 이 연산회로의 입력과 출력은 행렬 a=(xy)\displaystyle a = \begin{pmatrix} {x} \\ {y} \end{pmatrix}로, 연산자 □U\square {U}는 22차 정사각행렬 UU로 표현된다. 기본 연산회로 a→□Ua \rightarrow \square {U}는 Ua{U} _{a}를 수행하고 a→□U→□Va \rightarrow \square {U} \rightarrow \square {V}는 VUaV {U} _{a}의 행렬연산을 수행한다. 다음은 연산자 □X,□Y,□Z\square {X} , \square {Y} , \square {Z}에 대응되는 행렬이다. X=(0110)\displaystyle X = {\begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ 1 & & 0 \end{pmatrix}}, Y=(100−1)\displaystyle Y = {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 0 & & - 1 \end{pmatrix}}, Z=22(111−1)\displaystyle Z = \frac{\sqrt{2}}{2} {\begin{pmatrix} 1 & & 1 \\ 1 & & - 1 \end{pmatrix}} 입력 a=(01)\displaystyle a = \begin{pmatrix} {0} \\ {1} \end{pmatrix}를 연산회로

a→□Z→(가)→□Xa \rightarrow \square {Z} \rightarrow ( \text{가} ) \rightarrow \square {X}

에서 수행한 결과가 22(11)\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} {1} \\ {1} \end{pmatrix}일 때, 다음 중 (가)에 알맞은 것은? [3점] ①□Z→□X\square {Z} \rightarrow \square {X}②□Z→□Y\square {Z} \rightarrow \square {Y}③□X→□X\square {X} \rightarrow \square {X}④□Y→□Y\square {Y} \rightarrow \square {Y}⑤□Y→□X\square {Y} \rightarrow \square {X}

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⑤

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해설

먼저 a→□Za \rightarrow \square {Z}를 수행하면 Za=22(111−1)(01)=22(1−1)\displaystyle Za = \frac{\sqrt{2}}{2} {\begin{pmatrix} 1 & & 1 \\ 1 & & - 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}} = \frac{\sqrt{2}}{2} {\begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \end{pmatrix}} 연산자 (가)에 의해 표현되는 행렬을 AA라 하면 Za→(가)→□XZa \rightarrow ( \text{가} ) \rightarrow \square {X}의 결과가 22(11)\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} {1} \\ {1} \end{pmatrix}이므로 XAZa=22(11)\displaystyle XAZa = \frac{\sqrt{2}}{2} {\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}} Z\mathrm{Z}aa=Za=22(1−1)\displaystyle Za = \frac{\sqrt{2}}{2} {\begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \end{pmatrix}}이므로 XAXA는 xx에 대한 대칭행렬이다. ∴XA=(100−1)\displaystyle \therefore XA = {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 0 & & - 1 \end{pmatrix}} A=X−1(100−1)=(0110)(100−1)=XY\displaystyle A = X ^{- 1} {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 0 & & - 1 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ 1 & & 0 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 0 & & - 1 \end{pmatrix}} = XY 즉, A=XYA = XY에서 (가)의 연산은 □Y→□X\square {Y} \rightarrow \square {X}이다.

태그

#행렬의 곱셈#역행렬

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