공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

이차정사각행렬 $X , Y$ 에 대하여 $\ast$ 를 $X \ast Y = \left( X - Y \right) \left( X + Y \right)$ 라 정의하자. 이차정사각행렬 $A$ , $B$ 에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $E$ 는 단위행렬이고, $O$ 는 영행렬이다.) [3점]

		<보 기>

	ㄱ. $A \ast O = O$ 이면 $A = O$ 이다. ㄴ. $A \ast B = A \ast \left( - B \right)$ 이면 $\left( AB \right) ^{2} = A ^{2} B ^{2}$ 이다. ㄷ. $A \ast E = A$ 이면 $A + E$ 의 역행렬이 존재한다.

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄱ, ㄴ⑤ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 역행렬의 성질 추론하기 ㄱ. $A \ast O = A ^{2} = O$ 이면 $A = O$ (거짓) 반례) $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$ ㄴ. $A \ast B = A \ast ( - B )$ 이므로 $AB = BA$ 이다. $( AB ) ^{2} = A ^{2} B ^{2}$ (참) ㄷ. $A \ast E = A$ 이므로 $A ^{2} - A - E = O$ $A ^{2} - A - E =$ $( A + E ) ( A - 2 E ) + E = O$ $( A + E ) ( 2 E - A ) = E$ 이므로 $( A + E ) ^{- 1} = 2 E - A$ (참) 따라서 ㄴ, ㄷ

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