행렬 연립방정식 k

[출제의도] 연립방정식과 행렬의 성질을 이용하여 주어진 조건에 맞는 값을 구한다. 주어진 연립방정식은 $x = 0$, $y = 0$ 이외의 해를 갖는다. 정리하면 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} - {\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle {\begin{pmatrix} 5 - k & 2 \\ 2 & 5 - k \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$$\cdots$ ㉠ ㉠이 $x = 0$, $y = 0$ 이외의 해를 가지므로 $( 5 - k ) ^{2} - 4 = 0$ $\therefore$$k = 7$ 또는 $k = 3$ ⅰ) $k = 7$일 때, 주어진 연립방정식의 해를 $x = \alpha$, $y = \beta$라 하면 $\displaystyle {\begin{pmatrix} - 2 & 2 \\ 2 & - 2 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$ 따라서 $\alpha - \beta = 0$이고 $\alpha \beta = \alpha ^{2} > 0$이므로 $p = 7$ ⅱ) $k = 3$일 때, 주어진 연립방정식의 해를 $x = \alpha$, $y = \beta$라 하면 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$ 따라서 $\alpha + \beta = 0$이고 $\alpha \beta = - \alpha ^{2} < 0$이므로 $q = 3$ $\therefore$$10 p + q = 73$