행렬 식 성분 합

[출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 행렬의 성분의 합을 구한다. $AB = BA$이므로 $( A + B ) ^{2} = A ^{2} + 2 AB + B ^{2}$ 따라서 $64 E = A ^{2} + 4 E + B ^{2}$이므로 $A ^{2} + B ^{2} = 60 E$ ∴ $A ^{- 1} ( A ^{2} + B ^{2} ) B ^{- 1}$ $= A ^{- 1} ( 60 E ) B ^{- 1}$ $= 60 ( BA ) ^{- 1}$ $= 60 ( 2 E ) ^{- 1}$ $= 30 E$ 따라서 구하는 행렬의 모든 성분의 합은 $60$이다. [다른 풀이] $B = 8 E - A$를 $AB = 2 E$에 대입하면 $A ( 8 E - A ) = 2 E$, $8 A - A ^{2} = 2 E$ ∴ $A ^{2} = 8 A - 2 E$ 마찬가지로 $B ^{2} = 8 B - 2 E$ ∴ $A ^{2} + B ^{2}$ $= ( 8 A - 2 E ) + ( 8 B - 2 E )$ $= 8 ( A + B ) - 4 E$ $= 8 \times ( 8 E ) - 4 E$ $= 60 E$ 또, $AB = 2 E$에서 $AB = BA$이고, $\displaystyle A ^{-1} = \frac{1}{2} B$, $\displaystyle B ^{-1} = \frac{1}{2} A$이므로 $A ^{-1} ( A ^{2} + B ^{2} ) B ^{-1}$ $\displaystyle = \frac{1}{4} B ( A ^{2} + B ^{2} ) A$ $\displaystyle = \frac{1}{4} B ( 60 E ) A$ $= 15 BA$ $= 30 E$ 따라서 구하는 합은 $60$이다. [참고] 주어진 조건을 만족시키는 행렬의 예 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 4 & - 2 \\ - 7 & 4 \end{pmatrix}$