행렬 성질 판단

ㄱ. (반례) $A = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{0} \genfrac{}{}{0pt}{}{0}{- 1} \right)$, $B = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{1} \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{0} \right)$이라 하면 $A$와 $B$의 역행렬이 존재한다. 그러나 $AB = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{0} \genfrac{}{}{0pt}{}{0}{- 1} \right) \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{1} \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{0} \right) = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{- 1} \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{0} \right)$ $BA = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{1} \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{0} \right) \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{0} \genfrac{}{}{0pt}{}{0}{- 1} \right) = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{1} \genfrac{}{}{0pt}{}{- 1}{0} \right)$ 이므로 $AB \neq BA$이다. $\therefore$ 거짓 ㄴ. 대우인 ‘행렬 $A$, $B$가 모두 역행렬이 존재하면 $AB \neq O$이다.’ 가 참임을 이용하여 주어진 명제가 참임을 증명하자. 행렬 $A$, $B$의 역행렬을 각각 $A ^{-1}$, $B ^{-1}$라 할 때 $AB = O$라 가정하면 (ⅰ) $AB = O$ ⇒ $A ^{-1} AB = A ^{-1} O$ ⇒ $B = O$ (모순) (ⅱ) $AB = O$ ⇒ $ABB ^{-1} = OB ^{-1}$ ⇒ $A = O$ (모순) (ⅰ), (ⅱ)에서 $AB \neq O$ 따라서, 대우가 성립하므로 원래의 명제는 옳다. $\therefore$ 참 ㄷ. (반례)행렬 $A$의 역행렬이 존재하지 않으므로 $A = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{a}{ak} \genfrac{}{}{0pt}{}{b}{bk} \right) ( k \neq 0 )$이라 하면 $A \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{x}{y} \right) = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{1} \right)$ ⇐⇒ $\left( \genfrac{}{}{0pt}{}{a}{ak} \genfrac{}{}{0pt}{}{b}{bk} \right) \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{x}{y} \right) = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{1} \right)$ 이때, $ax + by = 1$, $akx + bky = 1$이므로 두 직선은 평행하다. 따라서, 주어진 연립일차방정식의 해는 존재하지 않는다. $\therefore$ 거짓 따라서, 참인 것은 ㄴ뿐이다.