행렬 성질 보기 판별

ㄱ. (거짓) [반례] $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} - 1 & & 0 \\ 0 & & 1 \end{pmatrix}}$, $\displaystyle B = {\begin{pmatrix} 0 & & 0 \\ - 1 & & 0 \end{pmatrix}}$이면 $\displaystyle ( A + B ) ^{2} = {\begin{pmatrix} - 1 & & 0 \\ - 1 & & 1 \end{pmatrix}} ^{2} = {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 0 & & 1 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle ( A - B ) ^{2} = {\begin{pmatrix} - 1 & & 0 \\ 1 & & 1 \end{pmatrix}} ^{2} = {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 0 & & 1 \end{pmatrix}}$이지만 $\displaystyle AB = {\begin{pmatrix} - 1 & & 0 \\ 0 & & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 0 & & 0 \\ - 1 & & 0 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 & & 0 \\ - 1 & & 0 \end{pmatrix}} \ne O$ ㄴ. (참) $( ABA ) ^{2} = ( ABA ) ( ABA )$$= ABA ^{2} BA$ $= ABEBA$ (∵ $A ^{2} = E$)$= AB ^{2} A$ $= ABA$ (∵ $B ^{2} = B$) ㄷ. (참) $A ( A + E ) = E$에서 $A ^{- 1} = A + E \cdots \cdots \text{㉠}$ 또한, $AB = - E$에서 $A ( - B ) = E$ $\therefore A ^{- 1} = - B \cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠과 ㉡이 같으므로 $- B = A + E$ 위의 식의 양변을 제곱하면 $B ^{2} = ( A + E ) ^{2} = A ^{2} + 2 A + E$ $= A ( A + E ) + A + E$ $= E + A + E$ (∵ $A ( A + E ) = E$) $= A + 2 E$ 따라서, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.