행렬 성질 보기

[출제의도] 행렬의 연산과 역행렬의 뜻을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. (반례) $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{pmatrix} , B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}$이라 하면 $AB = A$가 성립하지만 $B \ne E$이다. (거짓) ㄴ. $A ^{2} - A + E = O$의 양변에 $A + E$를 곱하면 $( A + E ) ( A ^{2} - A + E ) = O$, $A ^{3} + E = O$ ∴ $A ^{3} = - E$ (참) ㄷ. $A ^{2}$의 역행렬 $B$가 존재하면 $A ^{2} B = E$이므로 $A ^{3} \left( AB ^{2} \right)$$= A ^{4} B ^{2} = A ^{2} ( A ^{2} B ) B = A ^{2} E B = A ^{2} B = E$ ∴ $( A ^{3} ) ^{-1} = AB ^{2}$ 따라서 $A ^{3}$의 역행렬이 존재한다. (참)