공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 성질 보기

문제

두 이차정사각행렬 A,BA , B가 A2=E,B2=BA ^{2} = E , B ^{2} = B를 만족시킬 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [3점]

[ 보 기 ]
ㄱ. 행렬 BB가 역행렬을 가지면 B=EB = E이다. ㄴ. (E−A)5=24(E−A)( E - A ) ^{5} = 2 ^{4} ( E - A ) ㄷ. (E−ABA)2=E−ABA( E - ABA ) ^{2} = E - ABA

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

ㄱ. B−1B ^{-1}가 존재하면 B−1⋅B2=B−1⋅BB ^{-1} \cdot B ^{2} = B ^{-1} \cdot B에서 B=EB = E (참) ㄴ. (E−A)5=E5−5A+10A2−10A3+5A4−A5( E - A ) ^{5} = E ^{5} - 5 A + 10 A ^{2} - 10 A ^{3} + 5 A ^{4} - A ^{5} =E−5A+10E−10A+5E−A= E - 5 A + 10 E - 10 A + 5 E - A =16(E−A)=24(E−A)= 16 ( E - A ) = 2 ^{4} ( E - A ) (참) ㄷ. (E−ABA)2=E−2ABA+ABAABA( E - ABA ) ^{2} = E - 2 ABA + ABAABA =E−2ABA+ABBA(∵A2=E)= E - 2 ABA + ABBA ( \because A ^{2} = E ) =E−2ABA+ABA(∵B2=B)= E - 2 ABA + ABA ( \because B ^{2} = B ) =E−ABA= E - ABA(참)

태그

#행렬의 거듭제곱#역행렬

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