행렬 성질 보기

[출제의도] 행렬의 연산을 활용하여 추론하기 ㄱ. (반례) $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$ (거짓) ㄴ. $\left( A + 2 B \right) ^{2} = \left( A - 2 B \right) ^{2}$에서 $A ^{2} + 2 AB + 2 BA + B ^{2} = A ^{2} - 2 AB - 2 BA + B ^{2}$ $4 AB + 4 BA = O$ $\therefore AB + BA = O$ (참) ㄷ. $AB = A$ $\cdots \cdots \text{㉠}$, $BA = B$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠의 양변 오른쪽에 행렬 $A$를 곱하면 $ABA = A ^{2}$, 이 식에 ㉡을 대입하면 $A ^{2} = AB = A$이고, ㉡의 양변 오른쪽에 행렬 $B$를 곱하면 $BAB = B ^{2}$, 이 식에 ㉠을 대입하면 $B ^{2} = BA = B$이다. $\therefore A ^{2} + B ^{2} = A + B$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ