행렬 성질 보기

[출제의도] 행렬의 연산법칙을 이용한 명제의 참, 거짓 판단하기 ㄱ. $A ^{2} = O$이면 $A = O$이다. (거짓) (반례) $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & - 1 \end{pmatrix}$이면 $A ^{2} = 0$이지만 $A \ne O$ ㄴ. $A ^{2} = O$이면 $( A + E ) ( - A + E ) = - A ^{2} + E = E$이므로 $( A + E ) ^{-1} = - A + E$ ∴ $A ^{2} = O$ 이면 $A + E$는 역행렬을 갖는다. (참) ㄷ. $A + A ^{-1} = O$이면 $A ^{2} = - E$, $A ^{4} = E$ $A ^{2} + A ^{4} + A ^{6} + \cdots + A ^{2008} = - E$ $= ( - E ) + E + \cdots + ( - E ) + E = O$이다. ∴ $A ^{2} + A ^{4} + A ^{6} + \cdots + A ^{2008} = - E$ (거짓)