행렬 성질 보기

ㄱ. $A + B = E$ $A = E - B$ $AB = ( E - B ) B = B - B ^{2}$ $BA = B ( E - B ) = B - B ^{2}$ ∴ $A + B = E$ 이면 $AB = BA$ ∴ 참 ㄴ. $A + B = E$ $A ( A + B ) = AE$ $A ^{2} + AB = A$, $AB = O$ 이면 $A ^{2} = A$ ∴ $A ^{n} = A ^{n - 1} = \cdots = A ^{2} = A$ 위와 같은 방법으로 ∴ $B ^{n} = B ^{n - 1} = \cdots = B ^{2} = B$ ∴ $A ^{n} + B ^{n} = A + B = E$ ∴ 참 ㄷ. $AB$의 역행렬을 $X$라 하면 $ABX = XAB = E$ $A ^{- 1} = BX$ 이고 $B ^{- 1} = XA$ 이므로 $AB$의 역행렬이 존재하면 $A , B$의 역행렬이 각각 존재한다 ∴ 참