행렬 세제곱 성분 합

[출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이용하여 값을 계산한다. $\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} - 1 & a \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} - 1 & a \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} 1 & - 2 a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle A ^{3} = {\begin{pmatrix} 1 & - 2 a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} - 1 & a \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} - 1 & 3 a \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}}$ 따라서 $\displaystyle A ^{3} = {\begin{pmatrix} - 1 & 3 a \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}}$이고, 모든 성분의 합은 $3 a - 2 = 91$ $\therefore$$a = 31$ [참고] $\displaystyle A ^{n} = {\begin{pmatrix} ( - 1 ) ^{n} & ( - 1 ) ^{n + 1} n a \\ 0 & ( - 1 ) ^{n} \end{pmatrix}}$임을 추론할 수 있다.