행렬 세제곱

[출제의도] 행렬의 거듭제곱의 규칙성을 찾을 수 있는가를 묻는 문제이다. $X = X ( X + Y ) = X ^{2} + XY = X ^{2}$이므로 $X ^{3} = X ^{2} X = X$, $X ^{4} = X ^{3} X = X ^{2} = X$, $\cdots$ 즉, $X ^{n} = X$ ($n$은 자연수) … ㉠ 마찬가지 방법으로 정리하면 $Y ^{n} = Y$ ($n$은 자연수) … ㉡ 또한 $X = X ( X + Y ) = ( X + Y ) X$ ∴ $XY = YX = O$ … ㉢ ㉠, ㉡, ㉢으로부터 $A ^{3} = ( 3 X + Y ) ^{3}$ $= 3 ^{3} X ^{3} + 3 \cdot 3 X \cdot Y ( 3 X + Y ) + Y ^{3}$ $= 3 ^{3} X + Y$ 따라서 $a = 27$이다.