공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 명제 판정

문제

이차정사각행렬 AA, BB에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고르면? (단, OO는 영행렬, EE는 단위행렬, X−1X ^{- 1}는 XX의 역행렬이다.) [4점]

보 기
ㄱ. A3=OA ^{3} = O이면 A2=OA ^{2} = O이다. ㄴ. A+B=EA + B = E이면 AB=BAAB = BA이다. ㄷ. AB=A+BAB = A + B이면 (A−E)−1=B−E\left( A - E \right) ^{- 1} = B - E이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

ㄱ. A3=OA ^{3} = O이면 AA는 역행렬이 존재하지 않고 A2=kA(kA ^{2} = kA ( k는 상수) 이므로 A3=kA2=OA ^{3} = kA ^{2} = O 따라서 A2=OA ^{2} = O이다. (참) ㄴ. B=E−AB = E - A 이면 A(E−A)=A−A2=(E−A)AA ( E - A ) = A - A ^{2} = ( E - A ) A 이므로 AB=BAAB = BA (참) ㄷ. AB=A+BAB = A + B이면 AB−A−B=OAB - A - B = O 이고 AB−A−B+E=(A−E)(B−E)=EAB - A - B + E = ( A - E ) ( B - E ) = E이므로 (A−E)−1=B−E\left( A - E \right) ^{- 1} = B - E (참)

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