공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

행렬 조건과 연립방정식

문제

이차정사각행렬 $A$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (단, $E$ 는 단위행렬이고, $O$ 는 영행렬이다.)

(가) $A ^{2} + 2 A - E = O$ (나) $\displaystyle A \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\displaystyle ( A + 2 E ) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ - 3 \end{pmatrix}$ 을 만족시키는 실수 $x$ , $y$ 에 대하여 $x + y$ 의 값을 구하시오. [4점]

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21

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해설

(가)에서 $A ^{2} + 2 A = E \cdots \cdots \text{㉠}$ $\displaystyle ( A + 2 E ) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ - 3 \end{pmatrix}$ 의 양변의 왼쪽에 $A$ 를 곱하면 $\displaystyle ( A ^{2} + 2 A ) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} 3 \\ - 3 \end{pmatrix}$ ㉠에 의하여 $\displaystyle \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} 3 \\ - 3 \end{pmatrix}$ $\displaystyle = 3 A \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \end{pmatrix}$ $\displaystyle = 3 \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ ( $\because$ 조건 (나)에 의하여) $\therefore x + y = 9 + 12 = 21$

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