미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬 조건과 삼각함수 최대

문제

실수 $a$ 에 대하여 $\displaystyle \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} \sin \mathit{\theta} & \cos \theta \\ 1 & 2 \end{matrix} \end{array} \right)$ $\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 3 \\ a \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} k \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right)$ 일 때, $k$ 의 최대값은? [3점] ① $2$ ② $\displaystyle \sqrt{6}$ ③ $\displaystyle 2 \sqrt{2}$ ④ $\displaystyle \sqrt{10}$ ⑤ $\displaystyle 2 \sqrt{3}$

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④

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해설

$\left( \genfrac{}{}{0pt}{}{\sin \theta}{1} \genfrac{}{}{0pt}{}{\cos \theta}{2} \right) \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{3}{a} \right) = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{k}{1} \right)$ 에서 $3 \sin \theta + a \cos \theta = k$ , $3 + 2 a = 1$ $a = - 1$ 이므로 $k = 3 \sin \theta - \cos \theta$ $\displaystyle = \sqrt{10} \sin ( \theta - \alpha )$ 단 $\displaystyle \left( \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}} , \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} \right)$ 따라서, $k$ 의 최대값은 $\displaystyle \sqrt{10}$ 이다.

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