공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 조건과 벡터

문제

이차정사각행렬 $A$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (단, $E$ 는 단위행렬이고, $O$ 는 영행렬이다.)

(가) $A ^{2} - 2 A + E = O$ (나) $\displaystyle A \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right)$

$\displaystyle A \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \end{array} \right)$ 를 만족시키는 두 실수 $a$ , $b$ 에 대하여 $a + b$ 의 값은? [4점] ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$

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④

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[출제의도] 행렬과 그 성질 이해하기 $A ^{2} - 2 A + E = O$ 에서 $A ^{2} = 2 A - E$ 이고, $\displaystyle A \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right)$ 이므로 $\displaystyle A \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right) = A ^{2} \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right) = ( 2 A - E ) \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right) = 2 A \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right) - \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right)$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix} \end{array} \right) - \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 0 \\ 4 \end{matrix} \end{array} \right)$ 따라서 $a = 0$ , $b = 4$ 이므로 $a + b = 4$

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