행렬 조건 성분 합

[출제의도] 행렬의 연산을 할 수 있는가? $\displaystyle B = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$라 하면 (가)에서 $\displaystyle \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p - q \\ r - s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ ∴ $p = q , r = s$ ∴ $\displaystyle B = \begin{pmatrix} p & p \\ r & r \end{pmatrix}$ 이때, (나)에서 $\displaystyle AB = \begin{pmatrix} p + r & p + r \\ a ( p + r ) & a ( p + r ) \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & a \end{pmatrix}$ 이므로 $p + r = 2$이다. 또, $\displaystyle BA = \begin{pmatrix} p ( 1 + a ) & p ( 1 + a ) \\ r ( 1 + a ) & r ( 1 + a ) \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} p & p \\ r & r \end{pmatrix}$ 이므로 $1 + a = 4$ 즉, $a = 3$이다. (∵ $1 + a \ne 4$이면 $p = 0$, $r = 0$이므로 모순이다.) 따라서 $\displaystyle A + B = \begin{pmatrix} 1 + p & 1 + p \\ a + r & a + r \end{pmatrix}$의 (1, 2)성분과 (2, 1)성분의 합은 $1 + p + a + r = 1 + a + ( p + r )$$= 1 + 3 + 2 = 6$