공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬 조건 계산

문제

다음 세 조건을 만족시키는 영행렬이 아닌 모든 이차정사각행렬 A,BA , B에 대하여 B3+2BA3B ^{3} + 2 BA ^{3}과 항상 같은 행렬은? (단, EE는 단위행렬이다.) [3점]

[ 보 기 ]
(가) AB=BAAB = BA (나) (E−B)2=E−B( E - B ) ^{2} = E - B (다) AB=−BAB = - B

①2A2 A②−A- A③EE④2B2 B⑤−B- B

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⑤

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해설

(나)에서 (E−B)2=E2−2B+B2=E−B( E - B ) ^{2} = E ^{2} - 2 B + B ^{2} = E - B ∴B2=B⋯⋯㉠\therefore B ^{2} = B \cdots \cdots \text{㉠} ∴B3=B2B=BB=B\therefore B ^{3} = B ^{2} B = BB = B 또, BA3=(BA)A2=(AB)A2=−BA2BA ^{3} = ( BA ) A ^{2} = ( AB ) A ^{2} = - BA ^{2} =−(BA)A=−(AB)A=BA=AB= - ( BA ) A = - ( AB ) A = BA = AB=−B= - B ∴B3+2BA3=B−2B=−B\therefore B ^{3} + 2 BA ^{3} = B - 2 B = - B

태그

#행렬의 거듭제곱#단위행렬

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