행렬 조건 보기 판별

ㄱ. $A ^{2} + B = 3 E$의 양변의 왼쪽과 오른쪽에 $A$를 곱하면 $A ^{3} + AB = 3 A \cdots \text{㉠}$ $A ^{3} + BA = 3 A \cdots \text{㉡}$ $\text{㉠} - \text{㉡}$하면 $AB = BA$이다. (참) ㄴ. $A ^{2} = 3 E - B$를 $A ^{4} + B ^{2} = 7 E$에 대입하면 $( 3 EB ) ^{2} + B ^{2} = 7 E$ $2 B ^{2} - 6 B + 2 E = O$ $B ^{2} - 3 B + E = O$ $B ( 3 E - B ) = E$ 따라서 $B ^{-1} = 3 E - B = A ^{2}$ ($\because A ^{2} + B = 3 E$)이다. (참) ㄷ. ㄴ에 의해 주어진 식은 $B ^{-1} + B = 3 E , ( B ^{-1} ) ^{2} + B ^{2} = 7 E$이고 $A ^{6} + B ^{3} = ( B ^{-1} ) ^{3} + B ^{3}$ $= ( B ^{-1} + B ) \left\{ ( B ^{-1} ) ^{2} - E + B ^{2} \right\}$ $= 3 E \cdot ( 7 E - E )$ $= 18 E$ (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.