공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

행렬 조건 보기

문제

두 이차정사각행렬 A,BA , B는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) BA+B=EBA + B = E (나) A2B=A+EA ^{2} B = A + E

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. 행렬 BB의 역행렬이 존재한다. ㄴ. ABAB=BA= BA ㄷ. 행렬 ABAB의 모든 성분의 합은 −2- 2이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

ㄱ. 조건 (가)에서 B(A+E)=EB ( A + E ) = E이므로 BB의 역행렬은 A+EA + E이다. (참) ㄴ. ㄱ에서 B−1=A+EB ^{-1} = A + E이므로 AB=AB =(B−1−E)B\left( B ^{-1} - E \right) B =E−B= E - B =B(B−1−E)= B \left( B ^{-1} - E \right) =BA= BA (참) ㄷ. AB=BAAB = BA이므로 (나)에서 A2B=A(AB)=A(BA)A ^{2} B = A ( AB ) = A ( BA ) =A(E−B)= A ( E - B )=A−AB= A - AB=A+E= A + E ∴\therefore AB=−EAB = - E 따라서 행렬 ABAB의 모든 성분의 합은 −2- 2이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. [참고] B(A+E)=EB ( A + E ) = E에서 역행렬의 정의에 의해 (A+E)B=E( A + E ) B = E가 성립한다. ∴\therefore AB=BAAB = BA

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