행렬 집합 보기

$A = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{a}{- b} \genfrac{}{}{0pt}{}{b}{a} \right) \in V$, $B = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{x}{- y} \genfrac{}{}{0pt}{}{y}{x} \right) \in V$로 놓으면 ㄱ. $A + B = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{a + x}{- b - y} \genfrac{}{}{0pt}{}{b + y}{a + x} \right)$$= \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{a + x}{- ( b + y )} \genfrac{}{}{0pt}{}{b + y}{a + x} \right) \in V$　　∴ 참 ㄴ. $AB = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{a}{- b} \genfrac{}{}{0pt}{}{b}{a} \right) \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{x}{- y} \genfrac{}{}{0pt}{}{y}{x} \right)$$= \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{ax - by}{- bx - ay} \genfrac{}{}{0pt}{}{ay + bx}{- by + ax} \right)$ $= \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{ax - by}{- ( ay + bx )} \genfrac{}{}{0pt}{}{ay + bx}{ax - by} \right)$ $BA = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{x}{- y} \genfrac{}{}{0pt}{}{y}{x} \right) \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{a}{- b} \genfrac{}{}{0pt}{}{b}{a} \right)$$= \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{ax - by}{- ( ay + bx )} \genfrac{}{}{0pt}{}{bx + ay}{- by + ax} \right)$ ∴ AB=BA 　　∴ 참 ㄷ. ‘$AB = O$이면 $A = O$ 또는 $B = O$’의 대우명제 ‘$A \neq O$이고 $B \neq O$이면 $AB \neq O$’임을 보이면 된다. $A = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{a}{- b} \genfrac{}{}{0pt}{}{b}{a} \right) \neq O$라 하면 $a ^{2} + b ^{2} \neq 0$ (∵ $a$, $b$는 실수)이므로 행렬 $A$는 역행렬 $A ^{-1}$가 존재한다. $AB = O$이라고 가정하면 $A ^{-1} AB = A ^{-1} O , B = O$ 따라서, 조건 $B \neq O$에 모순이므로 $AB \neq O$이다. ∴ 참 따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.