행렬 점화식 수열 극한

(나) 식에서 $\displaystyle \begin{cases} a _{n+1} = \frac{1}{2} a _{n} + \frac{1}{2} b _{n} \\ b _{n+1} = a _{n} \end{cases}$ 이다. 여기서 윗식의 $n$자리에 $n + 1$을 대입하면 $\displaystyle a _{n+2} = \frac{1}{2} a _{n+1} + \frac{1}{2} b _{n} = \frac{1}{2} a _{n+1} + \frac{1}{2} a _{n}$ $( \because b _{n+1} = a _{n} )$ $\displaystyle a _{n+2} - \frac{1}{2} a _{n+1} - \frac{1}{2} a _{n} = 0$이므로 이 점화식은 계차수열이 등비수열인 점화식이다. 그러므로 일반항 $\displaystyle a _{n} = p + q \cdot \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n-1}$이라 둘 수 있다. 또한, $a _{1} = 10$, $b _{1} = 1$이므로 $\displaystyle a _{2} = \frac{11}{2}$이다. $\displaystyle \therefore a _{n} = 7 + 3 \cdot \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n-1}$이므로 $\displaystyle {\lim\limits _{n\rightarrow \infty} {a _{n} = 7}}$이다. 이 때, $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty {b _{n}}=\lim\limits _{n\rightarrow \infty {b _{n+1}}=\lim\limits _{n\rightarrow \infty {a _{n}}=7}}}$이다. $\displaystyle \therefore \lim\limits _{n\rightarrow \infty} {\left( a _{n} + b _{n} \right)} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty {a _{n}}+\lim\limits _{n\rightarrow \infty {b _{n}}=14}}$