미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

행렬 점화식 수열 극한

문제

수렴하는 두 무한수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}에 대하여 (an+1bn+1)=(0.90.20.10.8)(anbn)\displaystyle {\begin{pmatrix} a _{n + 1} \\ b _{n + 1} \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0.9 & 0.2 \\ 0.1 & 0.8 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} a _{n} \\ b _{n} \end{pmatrix}} (n=n =11, 22, 33,…) 으로 정의할 때, lim⁡n→∞bnan\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{b _{n}}{a _{n}}의 값은? (단, a1=4a _{1} = 4, b1=6b _{1} = 6) [4점] ①13\displaystyle \frac{1}{3}②12\displaystyle \frac{1}{2}③11④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤22

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②

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해설

[출제의도] 무한수열의 극한의 성질을 이해하여 이를 활용하기 an+1=0.9an+0.2bn⋯㉠a _{n + 1} = 0.9 a _{n} + 0.2 b _{n} \cdots \text{㉠} bn+1=0.1an+0.8bn⋯㉡b _{n + 1} = 0.1 a _{n} + 0.8 b _{n} \cdots \text{㉡} ㉠++㉡: an+1+bn+1=an+bn=⋯=a1+b1=10a _{n + 1} + b _{n + 1} = a _{n} + b _{n} = \cdots = a _{1} + b _{1} = 10 ⋯㉢\cdots \text{㉢} ㉠, ㉢에서 an+1=0.7an+2⋯㉣a _{n + 1} = 0.7 a _{n} + 2 \cdots \text{㉣} ㉡, ㉢에서 bn+1=0.7bn+1b _{n + 1} = 0.7 b _{n} + 1 ⋯㉤\cdots \text{㉤} ㉣에서 an=203−83(710)n−1\displaystyle a _{n} = \frac{20}{3} - \frac{8}{3} \left( \frac{7}{10} \right) ^{n - 1}이므로 ∴lim⁡n→∞an=203\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = \frac{20}{3} 마찬가지로 ㉤에서 lim⁡n→∞bn=103\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n} = \frac{10}{3}이다. ∴lim⁡n→∞bnan=lim⁡n→∞bnlim⁡n→∞an=103203=12\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{b _{n}}{a _{n}} = \frac{\lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n}}{\lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n}} = \frac{\frac{10}{3}}{\frac{20}{3}} = \frac{1}{2}

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#행렬#점화식#수열의 극한

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