공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬 인수분해 보기

문제

두 이차정사각행렬 A,BA , B가 A2−AB+BA−B2=OA ^{2} - AB + BA - B ^{2} = O을 만족시킬 때, 항상 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? (단, OO는 영행렬) [3점]

보 기
ㄱ. A2−B2=OA ^{2} - B ^{2} = O ㄴ. (A+B)(A−B)=O\left( A + B \right) \left( A - B \right) = O ㄷ. (A−B)(A+B)=O\left( A - B \right) \left( A + B \right) = O

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

[출제의도] 행렬의 곱셈의 성질 이해하기 ㄱ. (반례) A=(1010)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, B=(10−10)\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}이라 하면 A2−AB+BA−B2=OA ^{2} - AB + BA - B ^{2} = O 이지만 A2−B2=(0020)≠O\displaystyle A ^{2} - B ^{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \ne O ∴\therefore거짓 ㄴ. A2−AB+BA−B2=OA ^{2} - AB + BA - B ^{2} = O 에서 A(A−B)+B(A−B)=OA ( A - B ) + B ( A - B ) = O (A+B)(A−B)=O( A + B ) ( A - B ) = O ∴\therefore참 ㄷ. (반례) A=(1010)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, B=(10−10)\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}라 하면 A2−AB+BA−B2=OA ^{2} - AB + BA - B ^{2} = O 이지만 (A−B)(A+B)=(0040)≠O\displaystyle ( A - B ) ( A + B ) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \ne O ∴\therefore거짓

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